Was ist infty 2

\( \newcommand{\V}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\bbbr}{{\mathbb R}} \newcommand{\bbbc}{{\mathbb C}} \newcommand{\bbbl}{{\mathbb L}} \newcommand{\bbbn}{{\mathbb N}} \newcommand{\Mc}[2]{\left(\begin{array}{*{#1}{c}}#2\end{array}\right)} \newcommand{\LR}{\Leftrightarrow} \newcommand{\RA}{\Rightarrow} \newcommand{\D}{\displaystyle} \newcommand{\Sum}{\sum\limits} \)

Aufgabe 1

  1. Für welche $x\in ]0,\infty[$ konvergiert $\D \Sum_{n=0}^\infty x^{nx}$ ?

    Geben Sie ggf. die Reihensumme an.
  2. $k\in \bbbn$ fest. Bestimmen Sie den Konvergenzradius von $\D \Sum_{n=k}^\infty {n\choose k} x^n$.
Tipp
1. $x^{nx}=(x^x)^n$, geometrische Reihe.

$x^x=e^{x\ln x}$

2. Binomialkoeffizient mit Fakultäten ausschreiben, Quotientenkriterium.


Lösung

Aufgabe 2

Für welche $x\in \bbbr$ konvergiert $\D \Sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-2nx}}{1+e^{-nx}}$ ?

Tipp
Fallunterscheidung $x


Lösung
Für $x>0$ ist $\D \frac{e^{-2nx}}{1+e^{-nx}}=\frac{e^{-nx}}{1+e^{-nx}} e^{-nx}< e^{-nx}$, $\sum (e^{-x})^n$ ist konvergente Majorante.

Für $x=0$ sind die Glieder $\frac{1}{2}$ und die Reihe divergiert.

$x

Aufgabe 3

Für welche $x\in \bbbr$ konvergiert $\D \Sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{{2n \choose n}}$?

Tipp
Binomialkoeffizienten durch Fakultäten ersetzen, Quotientenkriterium.

Für den Fall, dass der Grenzwert der Quotienten eins ist, Fall gesondert untersuchen.


Lösung
Quotientenkriterium: $a_n = \D\frac{x^n}{{2n\choose n}} \quad \left|\D\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ $\D = \left|\D\frac{x^{n+1}{2n\choose n}}{{2n+2\choose n+1}x^n}\right|$

$\D = |x|~ \frac{(2n)!}{n!n!}~ \frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!} $ $\D = |x|~ \frac{(2n)!}{n!n!}~ \frac{(n+1)(n+1)n!n!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!}$ $\D = |x|~ \frac{(n+1)(n+1)}{2(n+1)(2n+1)} \to \frac{|x|}{4} $

Für $\D \frac{|x|}{4} < 1 \Leftrightarrow |x| < 4$ konvergiert die Reihe, für $|x| > 4$ divergiert sie.

$\D|x| = 4 : \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = $ $\D \frac{4(n+1)(n+1)}{2(n+1)(2n+1)} = \frac{2n+2}{2n+1} \geq 1$ Also divergiert die Reihe für $|x| = 4$.

Damit konvergiert die Reihe für $|x|